최초작성일: 2022. 3. 10.(목)


이 글은 당연한 걸 물어보는 초등학생들에게 답변하는 것을 안내하기 위함입니다.

개인적인 의견이 포함되어 있어 사실과 다를 수 있습니다.


초등학교 6학년을 올라가면 금물과 동차 속도와 한동안 싸우게 된다.

 

 동안 연수, 분수, 소수 힘겹게 익히고 숙해질  하니까 갑자기 농도가 어쩌고 속도가 어쩌고  얘기가 나온다.  숫자만    알았는데,  숫자와의 연산만    알았는데,  숫자의 관계에 대해 얘기하기 시작한다.

 말하 원의 동이 행되는 것이다.

만큼 렵고  전에 이해하지 못하는 념이 들어가며 10이  같은 10이라고 당연히 생각하던 아이에게 100에 대 10 50  10 다르다  이해하는게 렇게 만만치는 않을 것이다.

  아이들의 문에 답하지 못하는 순간은 아마도 빠르 인수분해, 비 율부터 작되지 않을까 생각된다. 부모 당연함이 아이들에게 낯섦의 시작이니까… 가만히 있는 숫자를  분해하는가….


[% 대하여]

   것부터, 비율이 나오며 등장하는 기호, 평소 생활하면서도 자주   있는 기호, % 대해 얘기해 보자. 우리 말로 프로, 퍼센트 등으로 읽혀지며 영어로는 percent이다. 우리 고유어가 아니니까 영어의 의미 따져보 per cent 나누어 읽고 per 나누기, cent 100이라 의미 억하자. 

  금까지는 숫자를 단순하게 1, 2, 3, 또 2/3, 3/4  뒤에 아무 것도 붙이지 않고 쓰다가 느닷없이30%, 300% 등…

   %  율에서 나오 작하는데  율에서 준으로  숫자를 100으로 놓기 위해 쓰기호이다.  아무리 설명해도 알쏭달쏭. 어른들은 당연한 건데 아이들은 이해하기 어렵다. 기호 하나 추가해서 기준으로  숫자가 100이라니..

  50%  영어의 의미대로 쓴다면

  50 per cent = 50 / 100 

                  = 0.5 

                  = 1/2

                  = 1 : 2

  된다. 0.5 있고 1/2 있는데 굳이 50%  이유 뭘까? 사람들이 이해하기 편안한 숫자로 얘기하기 위함이다. 사람들은 당연하게 연수를  연스럽게 받아들인다. 1/2 0.5  "분의", "" 등의 말을 숫자 사이에 쓰  선호하지도 않고 귀에도 별로 들어오지 않는다. 그래서 퍼센트라는기호 만들어 듣기 편하게 만든 것이다. 

  백화점 일을 는데 0.3 세, 3/10 세일이라 말하 소비자가 받아들이기 어려 것이다. 일단 름대로 복잡한 계산을 해야 하니까… 그래서 직관적으로 쉽게 알아 들을  있게 30% 세일이라고 말하것이다.

  같은 숫자라 하더라도 쓰임에 따라 표현하 방식이 달라짐을 명하면 그나마 조금이라도 이해에 도움이 된다.

  센트는 1보다 작은 숫자 표현하며 100  율로 환산해 나타내 숫자이다.

  10% = 10/100

  30% = 30/100

  1.5% = 1.5/100

 

 


 

 

 

 

 

 

 생각에 아이들이 학을 공부하며 겪게  원의 동은 아래 같다.

유치 - 이유없이 겁게 놀다가 은연중에 숫자를 세기 시 


등학교 1, 2학년 - 하나,  숫자만마 세다가  숫자를 가지고 계산을  .


등학교 3, 4학년 - 자연수만 배우다가 분수, 소수 배우고 심지어  가지고 계산도 하게 


초등학교 5, 6학년 - 숫자를 산만   아니라  숫자의 관계도 신경써야 .
숫자, 사칙연산만 쓰다가 2 : 3, %, km/h  낯선 기호 쓰기 시작함.
어떤 관계가 주어지고  관계를 용하여 모르 숫자를 .


중학교 - 갑자기 a, b, c, x, y, z 나오고 상수, 변수에  념이 입됨.
식을 가지고  자꾸 그린다. 좌표평면이니 뭐니 하며..사칙연산이  함수가 .


고등학교 -  하나도 정신없는데  나누고 합치고 곱한다.
어느 , log, e, cos, sin, tan, sigma, integral, dx, dy  함수가 무지막지하게 쏟아져 온다.
 
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소인수분해를 배우기 위해 필요한 개념들

곱하기, 인수, 소수, 수인수분해, 거듭제곱


■ 인수분해의 개념

인수분해는 자연수를 대상으로 한다.  자연수 이외의 유리수는 자연수 형태로 변경하여 적용한다.

다시 말해 자연수를 나타내는 다양한 방법 중 하나로 다른 수의 곱으로 나타낼 수 있는데, 이를 인수분해라 한다.

그 중 소수의 곱으로만 나타내는 방법을 소인수분해라 한다.


■ 인수와 관련된 정의

인수의 정의: 자연수 a, b, c에 대하여 a=b×c일 때 a의 약수 b, c를 a의 인수라 한다.

소수의 정의: 인수 중 소수인 것을 소인수라 한다.

소인수분해의 정의: 자연수를 소수의 곱으로만 나타내는 것


■ 표기: 쓰는 방법을 일치시켜야 복잡한 수 두 개를 비교하기 쉽다.  섞여 있으면 비교가 어렵다.

소인수분해의 결과는 보통 크기가 작은 소인수부터 차례로 쓴다.

보통의 표현) 30 = 2 × 3 × 5

잘 쓰지 않는 표현) 30 = 3 × 5 × 2


■ 소인수분해 결과를 쉽게 표기하기 위해 필요한 거듭제곱 표현

소인수분해를 하여 수를 표기할 때

36 = 2 × 2 × 3 × 3

으로 표기할 수 있으나 같은 수가 반복되는 것을 조금 더 알기 쉽게 표현하기 위해 거듭제곱의 표현(밑과 지수)이 도입되었다.

2 × 2 = 2²

3 × 3 = 3²


■ 거듭제곱과 관련된 정의: 밑과 지수

거듭제곱의 정의: 주어진 수(밑)를 주어진 수(지수)만큼 곱하는 것 // 지수와 밑의 정의가 나옴

3²는 주어진 수 3을 주어진 수 2만큼 곱하는 것이다.

즉, 3² = 3 × 3을 의미한다.


■ 예제: 가장 혼동을 많이 하는 예제

3² = 3 × 3 = 9

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

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중학교 1학년 수학에서는 정수와 유리수, 수직선 등을 배우고 나서 절대값을 배우게 된다.

절댓값의 역사는 오래된 것 같지만, 1913년 헝가리의 퀴르샤크 요제프가 도입하였다.

(출처: 위키, https://ko.wikipedia.org/wiki/절댓값_(대수학) )


★ 절대값의 정의: 수직선 위에서 원점으로부터 어떤 수에 대응하는 점까지의 거리


숫자를 주고 그 절대값을 구하라고 하면 그 해법이 워낙 쉽기 때문에(부호만 떼버리면 된다)

아주 쉬운 개념이라고 생각하지만

문자로 바꾼 다음에 개념을 묻는 질문은 어려울 수도 있다.


중학교 1학년 과정에서는 숫자를 직접 주고, 푸는 문제가 대부분이지만, 

문자가 절댓값 안으로 들어가면서 학생들이 혼동하기 시작한다.


쉬운 예) |-3| = 3

  -3에서 마이너스만 제거하면 답이 된다.

어려운 예) a<0 일 때, |a| = -a

  a가 음수이기 때문에 양수로 만들려면 -를 붙여서 -a로 만들어야 답이 된다.

조금 더 어려운 예) -1<a<1 일 때, |1-a| + |1+a| = 2a

  -1<a<1이기 때문에 1-a<0, 1+a>0임을 알 수 있다.

  |1-a| + |1+a| = -(1-a) + (1+a) = -1 + a + 1 +a = 2a

나중에) 절대값의 그래프 등, 대소관계, 부호문제 등



다시 말하지만 절대값에서 꼭 기억해야 하는 것은, 원점으로부터의 거리라는 절대값의 정의이다.

다르게는 실수 a의 절대값을 a와 -a중 작지 않은 값이라고 정의하기도 한다.


거리로 정의하기 때문에 나중에 배우는 복소평면에서의 절대값도 원점에서의 거리이다.

복소수 ai+b의 절대값도 원점에서의 거리이기 때문에 a2+b2이 된다.




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n차 방정식의 해법


1차 방정식: 알콰리즈미, 대수의 어원이 되는 algebra(이항해서 동류항끼리 모음)의 어원이 됨

2차 방정식: 고대 이집트인, 바빌로이나인, 알렉산드리아시대의 디오판토스, 인도의 수학자 브라마굽타(628년)

  * 2차방정식의 음의 근은 16세기 이탈리아의 카르다노가 밝혀냄

3차방정식: 이탈리아의 타르탈리아, 카르다노가 "위대한 술법"에서 타르탈리아의 해법을 훔침

4차 방정식: 카르다노의 제자인 페라리가 4차 방정식을 3차 방정식으로 변형시켜 풀어냄

5차 방정식: 1824년 노르웨이의 수학자 아벨이 5차 방정식 이상의 방정식의 일반적인 해가 없다는 것을 증명함

  * 갈루아가 5차 방정식을 풀 수 있는 조건을 발표함


출처: 교과서를 만든 수학자들(김화영 지음, 글담출판사)

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수학을 배우다 보면 생활에 익숙한 사칙연산을 시작으로 다양한 기호를 사용하게 된다.

수학에서의 기호는, 보다 단순하게 식을 나타낼 수가 있어 복잡한 언어나 표현을 사용하지 않고도 쉽게 이해할 수 있도록 도와준다.

사용하다 보면 자연스럽게 알게되는 기호들, 이러한 기호들이 도입되지 않았다면, 얼마나 복잡한 말로 수학을 배웠어야 했을까... 생각만 해도 어려운 수학이 더 어려워진다.


말이 안통해도, 말을 못해도, 익숙하고 약속된 기호를 통해 풀어나간다면 어떠한 문제도 이해시킬 수 있을 것이다.


 기호유래 

+, -

1489년 독일의 수학자 비트만(J. Widmann)이 쓴 산출책에 남음과 부족의 개념으로 사용

1514년 네덜란드의 수학자 호이케(Hoecke)에 의해 덧셈, 뺄셈의 기호로 사용됨. 

          프랑스의 수학자 비에타가 이것을 선전하고 다님

1521년 비인(Wien) 대학의 교수인 수라이버(Heinrch Schreiber)가 덧셈과 뺄셈의 의미로 사용

1525년 슈라이버의 제자 루돌프(Christoff Rudolff)가 대수학 책에서 덧셈과 뺄셈의 의미로 사용

1630년 정식 기호로 인정됨

 ×

1631년 영국의 수학자 오트레드가 "수학의 열쇠"에서 사용, 성안드레 십자가 ×를 곱셈기호로 처음 사용했으나 미지수를 나타내는 문자 x와 유사하여 잘 사용되지 않다가 19세기 후반에 이르러 널리 사용됨 

독일의 수학자 라이프니쯔는 알파벳 소문자 x와 유사하여 잘 사용하지 않고 점(·)으로 사용하기도 했다.

 ÷

1659년 스위스의 수학자 란이 대수학책에서 처음 사용, 10년이 지난 후 영국의 존펠이 보급하면서 널리 사용됨 

분수

12세기 경, 분수에서 분자와 분모를 구별해 주는 기호로 아랍의 문필가 알하사르가 처음 사용 

1557년, 영국의 수학자 레코드가 영어로 처음 쓰여진 대후수학 책인 "지혜의 숫돌"에서 서로 같음을 나나태기 위해 사용했던 기호로 현재의 동호보다 길게 나타내었음.  레코드는 서로 평행인 두 직선에서 이 기호의 아이디어를 얻었다고 함 

1637년 프랑스의 수학자 데카르트가 처음 사용함.  x를 사용하 이유에 대해서는 당시 프랑스 인쇄소에  x활자가 여분으로 많았기 때문이라는 주장과 중세 시대에 미지수를 나타내던   shei를 아랍어로 표기한 xei의 첫 글자이기 때문이라는 주장이 있음 

 √

 1637년 프랑스의 수학자 데카르트가 루돌프가 radix의 첫 글자에서 따온 제곱근 기호 √를 개량하여 처음 사용함

 소수

스테빈이 도임 

 <, >

1622년 영국의 수학자 헤리오트(Thomas Harriot)가 죽은지 10년 후에 발행된 책에서 발견됨
1세기가 지난 후에 부케(Pierre Bouquer)에 의해 사용 

 π

 존스에 의해 시작되고 오일러, 베르누이, 르장드르 등이 사용

 집합{}1895년 독일의 수학자 칸토어 

∈ 

1903년 영국의 수학자 러셀, element의 첫 자 

 공집합

프랑스의 수학자 베일이 노르웨이어 알파벳의 한 문자 도입 
 ⊂

1898년 이탈리아 수학자 페아노, 포함하다(Contain)의 첫 자 

 ∩1877년 이탈리아 수학자 

 f(x)

함수라는 용어는 라이프니쯔, f(x)는 오일러가 처음 사용 


출처

1. 교과서를 만든 수학자들( 김화영 지음, 글담출판사)

2. http://tip.daum.net/question/46650398



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중학수학의 체계


- 동아출판 교과서 기준 작성


■ 수와 연산

○ 1학년: 소인수분해 / 최대공약수와 최소공배수 / 정수와 유리수 / 정수와 유리수의 대소 관계 / 정수와 유리수의 사칙연산

○ 2학년: 분수와 소수의 표현  / 유리수와 소수 / 순환수소로 나타내어지는 분수 / 순환소수를 분수로 나타내기

○ 3학년: 제곱근의 뜻 / 제곱근의 성질과 대소관계 /무리수와 실수 / 제곱근의 사칙연산 / 실수의 대소관계 / 제곱근의 값


■ 문자와 식

○ 1학년: 문자의 사용 / 식의 계산 / 등식의 성질 / 일차방정식과 그 해 / 일차방정식의 활용

○ 2학년: 지수법칙 / 단항식의 사칙연산 / 전개식 / 등식의 변형 / 일차방정식과 그 해 / 연립일차방정식과 그 해 / 식의 대입 / 식의 연산 /  부등식과 그 해 / 부등식의 성질 / 일차부등식의 풀이 / 연립일차부등식의 풀이 / 부등식의 활용

○ 3학년: 인수분해 / 이차방정식의 뜻과 그 해 / 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 / 제급근을 이용한 이차방정식이 풀이 / 근의 공식을 이용한 이차방정식의 풀이


■ 함수

○ 1학년: 함수와 함수값 / 순서쌍과 좌표 / 함수의 그래프 / 함수의 활용

○ 2학년: 일차함수의 개념 / 일차함수의 그래프 / 절편 / 기울기 / 성질 / 일차함수 식 구하기 / 일차함수의 활용 / 일차함수와 일차방정식 / 연립방정식의 해와 일차함수 그래프

○ 3학년: 이차함수의 뜻, 이차함수의 그래프, 이차함수의 최댓값과 최솟값 


■ 통계

○ 1학년: 줄기와 잎 그림 / 도수분포표 / 히스토그램과 도수분포다각형 / 상대도수

○ 2학년: 경우의 수 / 확률의 뜻 / 확률의 성질 / 확률의 계산

○ 3학년: 대푯값 / 분산 / 표준편차 / 도수분포표에서의 분산과 표준편차


■ 도형

○ 1학년: 점, 선, 면, 각 / 동위각과 엇각 / 점, 직선, 평면의 위치관계 / 삼각형의 작도 / 삼각형의 합동 / 다각형의 성질 / 원과 부채꼴 / 다면체의 성질 / 회전체의 성질 / 입체도형의 측정

○ 2학년: 이등변삼각형의 성질 / 직각삼각형의 합동조건 / 삼각형의 내심 / 삼각형의 외심 / 평행사변형의 성질 / 평행사변형이 되는 조건 / 여러가지 사각형의 성질 / 도형의 닮음 / 삼각형의 닮음 조건 / 삼각형과 평행선 / 평행선 사이의 선분의 길이의 비 / 삼각형이 무게중심 / 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비

○ 3학년: 피타고라스 정리 / 피타고라스 정리의 활용 / 삼각비의 뜻 / 특정 각의 삼각비 / 예각의 삼각비 / 원과 현 / 원과 접선 / 원주각 / 원주각의 활용



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